数学 －分式方程的应用 -数学教案

列分式方程解应用题

教学目标

　　1.使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；

　　2.通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。

教学重点和难点

　　重点：列分式方程解应用题.

　　难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程.

教学过程设计

　　一、复习

　　例  解方程：

　　(1)2x+xx+3=1;　　　　(2)15x=2×15 x+12;

　　(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.

　　解 (1)方程两边都乘以x(3+3),去分母，得

　　　　　　　　　2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6

　　所以　　　　　　　　x=6.

　　检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

　　(2)方程两边都乘以x(x+12)，约去分母，得

　　　　　　　　　　　15(x+12)=30x.

　　　解这个整式方程，得

　　　　　　　　　　　x=12.

　　 检验：当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.

　　(3)整理，得

　　　　　　　　2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,

　　即　　　　　　　　　　2x+xx+3=1.

　　方程两边都乘以x(x+3)，去分母，得

　　　　　　　　　　　　　　2(x+3)+x2=x(x+3),

　　即　　　　　　　　　　　　 2x+6+x2=x2+3x,

　　亦即　　　　　　　　　　　　2x－3x=－6.

　　解这个整式方程，得　　　　　　x=6.

　　检验：当x=6时，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

　　二、新课

　　例1 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?

　　请同学根据题意，找出题目中的等量关系.

　　答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；

　　　　骑车的速度=步行速度的2倍；

　　　　骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.

　　请同学依据上述等量关系列出方程.

　　答案：

　　方法1　　设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为

　　　　　　　　　　　　         15x=2×15 x+12.

　　方法2　　设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为

　　　　　　　　　　　　　　　　　15x－15 2x=12.

　　解　　由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程.

　　方程两边都乘以2x，去分母，得

　　　　　　　　　　　　　　　　30－15=x，

　　所以　　　　　　　　　　　　　  x=15.

　　检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意.

　　所以骑车追上队伍所用的时间为15千米 30千米／时=12小时.

　　答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟.

　　指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离 时间.

　　如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按

速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程.

　　例2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?

　　分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是

　　　　　　　　　　　　　　　s=mt,或t=sm，或m=st.

　　请同学根据题中的等量关系列出方程.

　　答案：

　　方法1　　工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依题意，列方程为

　　　　　　　　　　　　2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.

　　指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量.

　　方法2　　设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程

　　　　　　　　　　　　 2x+xx+3=1.

　　方法3　　根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程

　　　　　　　　　　　　1－2x=2x+3+x－2x+3.

　　用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.

　　三、课堂练习

　　1.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.

　　2.A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.

　　答案：

　　1.甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件.

　　2.大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.

　　四、小结

　　1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.

　　2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法