数学 －一元二次方程实数根错例剖析课 -数学教案

课题：一元二次方程实数根错例剖析课

【教学目的】  精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。

【课前练习】

1、关于x的方程ax²+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当 a_____时，方程为一元二次方程。

2、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。

【典型例题】               

例1   下列方程中两实数根之和为2的方程是（）

(A)   x²+2x+3＝0     (B) x²-2x+3＝0    (c)  x²-2x-3＝0      (D)  x²+2x+3＝0

错答： B

正解： C

错因剖析：由根与系数的关系得x₁+x₂＝2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。

例2   若关于x的方程x²+2(k+2)x+k²＝0  两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（     ）

(A)   k＞-1     (B)  k＜0    (c) -1＜ k＜0    (D) -1≤k＜0

错解 ：B

正解：D

错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

例3（2000广西中考题） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x²-2 x-1＝0有两个不相等的实根，求k的取值范围。

错解: 由△＝(-2 )²-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得  k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

围是 -1≤k＜2

错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝ 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

正解： -1≤k＜2且k≠

例4             （2002山东太原中考题） 已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²+1＝0的两个实数根，当x₁²+x₂²=15时，求m的值。

错解：由根与系数的关系得

       x₁+x₂＝ -（2m+1）,    x₁x₂＝m²+1,

      ∵x₁²+x₂²＝(x₁+x₂)²-2 x₁x₂

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