二次根式 示例2 -数学教案

　一、教学过程

　　(一)复习提问

　　1．什么叫二次根式？

　　2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

　　(3)∵x取任何值都有2x²≥0，所以2x²+1＞0，故x的取值为任意实数．

　　(二)二次根式的简单性质

　　上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质

　　我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号“”看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：

　　这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？

　　请分析：引导学生答如 时才成立。

　　 时才成立，即a取任意实数时都成立。

　　我们知道

　　如果我们把 ，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．

　　例1  计算：

　　分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式 。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的 ，说明 ，这与带分数 。因此，以后遇到 ，应写成 ，而不宜写成 。

　　例2  把下列非负数写成一个数的平方的形式：

　　(1)5；  (2)11；  (3)1.6；  (4)0.35．

　　例3  把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

　　(1)4x²-1；　　　(2)a⁴-9；

　　(3)3a²-10；　　　(4)a⁴-6a²+9．

　　解：(1)4x²-1

　　　=(2x)²-1²

　　　=(2x+1)(2x-1)．

　　(2)a⁴-9

　　　=(a²)²-3²

　　　=(a²+3)(a²-3)

　　(3)3a²-10

　　(4)a⁴-6a²+3²

　　　=(a²)²-6a²+3²

　　　=(a²-3)²

　　(三)小结

　　1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．

　　2．关于公式 的应用。

　　(1)经常用于乘法的运算中．

　　(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．

　　(四)练习和作业

　　练习：

　　1．填空

　　注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

　　2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

　　分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

　　3．计算

　　二、作业

　　教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．

　　补充作业：

　　下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？

　　分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：

　　(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

　　但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，

　　∴  ｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

　　(2)由(-m²-1)(m-n)≥0，-(m²+1)(m-n)≥0

　　∴  (m²+1)(m-n)≤0，又m²+1＞0，

　　∴  m-n≤0，即m≤n．

　　说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．