§12.1 一元二次方程 -数学教案

[课    题]  §12.1  一元二次方程

[教学目的]  使学生了解整式方程、一元二次方程的意义；使学生知道并能认识一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

[教学重点]  使学生知道并能认识一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

[教学难点]  使学生掌握什么是一元二次方程的二次项和系数、一次项和系数以及常数项，

[教学关键]  使学生掌握在指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要包括它们的符号。

[教学用具] 

[教学形式]  讲练结合法。

[教学用时]  45′×1

例方程解应用题的一般步骤是什么？

引例可由教师提出并分析其中的数量关系，设出未知数，列出代数式，并根据等量关系列出方程：（80－2x）（60－2x）=1500。

（这其中应重点复习列方程解应用题的方法、步骤，或讲解或提问应视具体情况而定）。

提问：如何将上述方程整理？整理后，得：x²－70x+825=0。

这里不必多讲，只指出：这个方程（什么方程？这里不谈）与我们已经学过的一元一次方程不同，我们学了这一章，就可以解这个方程，从而解决上述问题。

接着书写教科书第4页的问题：

剪一块面积是150cm²的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？

引导学生分析题意，设未知数，列出代数式，找出相等关系，列出方程：

x（x+5）=150。

去括号，得：  x²+5 x=150。

现在来观察这个方程：它的两边都是关于未知数的整式，指出“这样的方程叫做整式方程。”就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别，因而，一元一次方程也是整式方程，但一元一次方程未知数的次数是1，而上列方程未知数的最高次数是2，所以，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

（这样与一元一次方程对比着讲，既使整式方程的内含扩大，以加深学生的印象，也可使学生深刻了解一元二次方程的意义。）

下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？

1、3x+2=5x－3；(2x=5)

2、x²=4；

3、(x－1)(x－2)=x²+8；(3x=－6)

4、(x+3)(3x－4)=(x+2)²；(2x²+x－16=0)

（上述方程都是整式方程。其中1、3是一元一次方程，2、4是一元二次方程。）

上列方程中的4，两边展开，得

3x²+5x－12= x²+4x+4

移项，得    2x²+x－16=0

事实上，方程x²+5 x=150

移项，得    x²+5 x－150=0

这就是说，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化成下面的形式：

            ax²+bx+c=0（a≠0）。

这种形式叫做一元二次方程的一般形式。这里应强调指出，方程

            ax²+bx+c=0

只有当a≠0时，才叫一元二次方程。如果a=0，b≠0，就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。

随后指出，在方程中，ax²，bx，c各项的名称，并举例说明。

（ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。）

例1  把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

解：去括号，得

               3x²－3 x=2x+4+8

移项，合并同类项，得

               x²－5 x－12=0

二次项系数是3；一次项系数是－5；常数项是－12。

教科书第5页练习第1，2题。

通过本节课的学习，我们知道了什么是整式方程，什么叫做一元二次方程和一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。在这里我们要特别注意a≠0这个条件。同时我们还学习了一元二次方程化成一般形式后，什么是二次项系数，什么是一次项系数，什么是常数项，在指出这三项内容时，要特别注意它们的符号。

复习教科书第4，5页的内容，预习教科第6页上的内容。