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复数的有关概念 -数学教案

作者:佚名  来源:不详  发布时间:2006-12-1 1:28:00  发布人:中国教案站

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教学目标

  (1)掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
  (2)正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系;
  (3)理解复数的几何意义,初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
  (4)培养学生数形结合的数学思想,训练学生条理的逻辑思维能力.

 

教学建议

(一)教材分析

1、知识结构

  本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念.

2、重点、难点分析

  (1)正确复数的实部与虚部

  对于复数 ,实部是 ,虚部是 .注意在说复数 时,一定有 ,否则,不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。

  说明:对于复数的定义,特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

  (2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系

  分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下:

注意分清复数分类中的界限:

  ①设 ,则 为实数

  ② 为虚数

  ③

  ④ 为纯虚数

(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意:

  ①化为复数的标准形式

       ②实部、虚部中的字母为实数,即

(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意:

  ①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定.这就是说,复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( )叫做复数的.

  ②复数 用复平面内的点Z( )表示.复平面内的点Z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 .由于 =0+1· ,所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度.这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度.

  ③当 时,对任何 是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数.但当 时, 是实数.所以,纵轴去掉原点后称为虚轴.

  由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.

  ④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时大写.要学生注意.

(5)关于共轭复数的概念

  设 ,则 ,即 的实部相等,虚部互为相反数(不能认为 是共轭复数).

  教师可以提一下当 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数.当 时, 互为共轭虚数.可见,共轭虚数是共轭复数的特殊情行.

(6)复数能否比较大小

  教材最后指出:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注意:

  ①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立,那么 .两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小.

  ②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:

  (i)对于任意两个实数a, b来说,a<b, a=b, b<a这三种情形有且仅有一种成立;

  (ii)如果a<b,b<c,那么a<c;

  (iii)如果a<b,那么a+c<b+c;

  (iv)如果a<b,c>0,那么ac<bc.(不必向学生讲解)

(二)教法建议

  1.要注意知识的连续性:复数 是二维数,其几何意义是一个点 ,因而注意与平面解析几何的联系.

  2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想.

  3.注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数,如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明,如果有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证明,可以在课下给学有余力的学生进行解答.

 

复数的有关概念

教学目标

  1.了解复数的实部,虚部;

  2.掌握复数相等的意义;

  3.了解并掌握共轭复数,及在复平面内表示复数.

教学重点

  复数的概念,复数相等的充要条件.

教学难点

  用复平面内的点表示复数M.

教学用具:直尺

课时安排:1课时

教学过程

一、复习提问

  1.复数的定义。

  2.虚数单位。

二、讲授新课

  1.复数的实部和虚部:

  复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

  2.复数相等

  如果两个复数 的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。

  即: 的充要条件是

  例如:   的充要条件是

  例1: 已知   其中 ,求xy.

  解:根据复数相等的意义,得方程组:

             

  ∴

  例2:m是什么实数时,复数 ,

  (1)    是实数,(2)是虚数,(3)是纯虚数.

  解:

  (1) ∵ 时,z是实数,

       ∴ ,或 .

  (2)    ∵ 时,z是虚数,

   ∴ ,且

  (3)    ∵ 时,

  z是纯虚数. ∴

  3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数

复平面的定义

  建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面.

  复数 可用点 来表示.(如图)其中x轴叫实轴,y轴 除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上,不在虚轴上.

  4.复数的几何意义:

  复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.

  5.共轭复数

  (1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)

  (2)复数z的共轭复数用 表示.若 ,则:

  (3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数.

  (4)复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称.

三、练习   1,2,3,4.

四、小结

  1.在理解复数的有关概念时应注意:

  (1)明确什么是复数的实部与虚部;

  (2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;

  (3)弄清复平面与复数的几何意义;

  (4)两个复数不全是实数就不能比较大小。

  2.复数集与复平面上的点注意事项:

  (1)复数 中的z,书写时小写,复平面内点Z(ab)中的Z,书写时大写。

  (2)复平面内的点Z的坐标是(ab),而不是(abi),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i

  (3)表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。

  (4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应:

五、作业   1,2,3,4,

六、板书设计

§8,2 复数的有关概念

1定义:  例1    3定义:   4几何意义:

……     ……   ……        …

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